Metody numeryczne

0. Wstępne uwagi o obliczeniach numerycznych; 0.1. Własności zapisu zmiennopozycyjnego; 0.2. Błędy obliczeń; 0.3. Oszacowania błędów zaokrągleń; 0.4. Uwarunkowanie zadania i stabilność algorytmów; 1. Interpolacja; 1.1. Sformułowanie zagadnienia interpolacji; 1.2. Interpolacja za pomocą wielomianów; 1.2.1. Wzór interpolacyjny Lagrange'a; 1.2.2. Oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego; 1.2.3. Problem optymalnego doboru węzłów interpolacji; 1.2.4. Wzór interpolacyjny Newtona dla nierównych odstępów argumentu; 1.2.5. Różnice progresywne i różnice wsteczne; 1.2.6. Wzory interpolacyjne Newtona dla równoodległych wartości argumentu; 1.2.7. Zbieżność procesów interpolacyjnych; 1.2.8. Uwagi końcowe; 1.3. Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych; 1.3.1. Określenie funkcji sklejanych; 1.3.2. Interpolacyjne funkcje sklejane stopnia trzeciego; 2. Aproksymacja; 2.1. Wstęp; 2.2. Aproksymacja średniokwadratowa; 2.2.1. Aproksymacja wielomianowa; 2.2.2. Aproksymacja za pomocą wielomianów ortogonalnych; 2.2.3. Aproksymacja trygonometryczna; 2.2.4. Szybka transformacja Fouriera; 2.2.5. Aproksymacja za pomocą funkcji sklejanych; 2.3. Aproksymacja jednostajna; 2.3.1. Metoda szeregów potęgowych; 2.3.2. Przybliżenia Padégo; 2.3.3. Szeregi Czebyszewa; 2.4. Uwagi końcowe; 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów; 3.1. Jedno równanie z jedną niewiadomą; 3.1.1. Metoda połowienia; 3.1.2. Reguła falsi i metoda siecznych; 3.1.3. Metoda Newtona. Metody zmodyfikowane dla pierwiastków wielokrotnych; 3.2. Metody poszukiwania zer wielomianów; 3.2.1. Liczba pierwiastków rzeczywistych; 3.2.2. Lokalizacja zer rzeczywistych; 3.2.3. Metody przybliżonego obliczania zer rzeczywistych wielomianu; 3.2.4. Lokalizacja zer zespolonych; 3.2.5. Metody przybliżonego obliczania zer zespolonych wielomianu; 3.3. Uwagi o efektywności metod przybliżonego obliczania pierwiastków; 3.4. Układy równań nieliniowych; 3.4.1. Ogólne metody iteracyjne; 3.4.2. Metoda Newtona; 3.4.3. Metoda siecznych; 3.5. Poszukiwanie minimów funkcji jednej zmiennej; 3.5.1. Metody podziału; 3.5.2. Metoda optymalnych podziałów; 3.5.3. Metoda złotego podziału; 4. Całkowanie numeryczne; 4.1. Wstęp; 4.1.1. Uwagi ogólne o całkowaniu numerycznym; 4.1.2. Ogólny wzór całkowania numerycznego; 4.2. Kwadratury z ustalonymi węzłami; 4.2.1. Kwadratury Newtona-Cotesa; 4.2.2. Kwadratury złożone Newtona-Cotesa; 4.2.3. Metoda Romberga; 4.3. Kwadratury Gaussa i kwadratury złożone Gaussa; 4.3.1. Kwadratury Gaussa; 4.3.2. Kwadratury złożone Gaussa; 4.4. Uwagi końcowe; 5. Rozwiązywanie układów algebraicznych równań liniowych; 5.1. Wstęp; 5.2. Pojęcia podstawowe; 5.3. Metody dokładne; 5.3.1. Analiza błędów rozwiązywania; 5.3.2. Układy równań z macierzą trójkątną; 5.3.3. Metoda eliminacji Gaussa; 5.3.4. Metoda eliminacji Jordana; 5.3.5. Układy z macierzą symetryczną. Rozkłady LDLT i LLT; 5.3.6. Układy z macierzą trójdiagonalną; 5.3.7. Układy równań z macierzą zbliżoną do trójdiagonalnej; 5.3.8. Obliczanie wyznacznika i odwracanie macierzy; 5.3.9. Iteracyjne poprawianie rozwiązania; 5.4. Metody iteracyjne; 5.4.1. Metoda Jacobiego; 5.4.2. Metoda Gaussa-Seidla; 5.4.3. Metoda Czebyszewa; 5.4.4. Nakład obliczeń i testy stopu; 5.5. Układy równań z macierzami rzadkimi; 5.5.1. Organizacja pamięci; 5.5.2. Metody dokładne dla układów z macierzami rzadkimi; 5.5.3. Metody iteracyjne; 5.5.4. Metody blokowe; 6. Obliczanie wartości własnych i wektorów własnych macierzy; 6.1. Wstęp; 6.2. Pojęcia podstawowe; 6.3. Zaburzenia wartości i wektorów własnych; 6.4. Macierze o elementach rzeczywistych — metody ogólne; 6.4.1. Lokalizacja wartości własnych; 6.4.2. Znajdowanie wartości własnych przy użyciu wielomianu charakterystycznego; 6.4.3. Metoda potęgowa; 6.4.4. Algorytm QR dla macierzy Hessenberga; 6.4.5. Sprowadzanie macierzy do postaci Hessenberga; 6.4.6. Obliczanie wektorów własnych; 6.4.7. Algorytm rozkładu macierzy na iloczyn QR 271 6.5. Macierze symetryczne 283 6.5.1. Macierz trójdiagonalna symetryczna 285 6.5.2. Sprowadzanie macierzy symetrycznej do postaci trójdiagonalnej; 6.6. Macierze wstęgowe; 7. Metody rozwiązywania zagadnień początkowych dla równań różniczkowych zwyczajnych; 7.1. Wstęp; 7.2. Metoda Eulera; 7.3. Metody różnicowe; 7.3.1. Ogólny wzór różnicowy; 7.3.2. Równanie dla błędu; 7.3.3. Stabilność i zbieżność; 7.3.4. Wyznaczanie praktyczne przydatnych wzorów różnicowych; 7.4. Metody typu Rungego-Kutty; 7.4.1. Wzór ogólny; 7.4.2. Stabilność metod Rungego-Kutty; 7.4.3. Metody rzędu czwartego; 7.4.4. Wybór kroku całkowania; 7.5. Metody ekstrapolacyjno-interpolacyjne; 7.5.1. Metody Hamminga; 7.5.2. Metoda Geara dla układów typu stiff; 8. Metody rozwiązywania zagadnień brzegowych dla równań różniczkowych cząstkowych; 8.1. Metoda różnicowa dla równania przewodnictwa cieplnego; 8.1.1. Postawienie zagadnienia; 8.1.2. Aproksymacja różnicowa; 8.1.3. Stabilność i zbieżność; 8.1.4. Przykład obliczeniowy; 8.1.5. Schemat blokowy; 8.2. Metoda różnicowa dla równania drgań struny; 8.2.1. Postawienie zagadnienia; 8.2.2. Aproksymacja różnicowa; 8.3. Metoda różnicowa dla równania Poissona; 8.3.1. Postawienie zagadnienia; 8.3.2. Aproksymacje różnicowe równania Poissona; 8.3.3. Aproksymacja różnicowa zagadnienia Dirichleta; 8.3.4. Jednostajna zbieżność rozwiązania różnicowego; 8.4. Metoda prostych dla równania przewodnictwa cieplnego; 8.5. Metoda prostych dla równania drgań struny. [JK]